圆的切线判定与性质证明

初三圆 · 半径垂直切线 · 勾股定理

切线判定切线性质反证法

题两个核心定理

判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

l 经过 A，OA⊥l ⇔ l 是圆 O 在 A 点的切线

移动切线上的点 P。除切点 A 外，任意点 P 到圆心的距离都大于半径。

点 P 离开切点的距离105

半径 OA—

距离 OP—

位置关系—

直线 l 经过圆上的点 A，并且 OA⊥l。在 l 上任取一点 P，且 P≠A。

△OAP 是直角三角形。

OP²=OA²+AP²>OA²

所以 OP>OA=r，P 一定在圆外。

A 在圆上，而直线 l 上其余所有点都在圆外。

直线 l 与圆 O 只有一个公共点 A

因此 l 是圆 O 在 A 点的切线。

判定入口：连接圆心与疑似切点，证明半径垂直直线

从 O 向 l 作垂线 OM，垂足为 M。若 OA 不垂直 l，则 M≠A。

垂线段最短，所以 OM<OA=r，即 M 在圆内。

直线经过圆内一点 M，就会穿过圆，与圆有两个公共点。

这与 l 是切线、只有一个公共点 A 矛盾。因此假设错误：

OA⊥l

性质结论：切线垂直于经过切点的半径