从 C 向 AB 作垂线，垂足为 D。设
AD=x，CD=h，AB=c，AC=b，BC=a
于是 BD=c−x。
用初中知识证明余弦定理
初三衔接 · 作高 · 勾股定理 · 锐角余弦
作高勾股定理完全平方公式题要证明的结论
△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c。
a²=b²+c²−2bc cos A
先用初中知识证明 ∠A 为锐角或直角的情形。
图作高后的动态参考图
调节锐角 A。图中同时显示 AD=b cos A、CD=b sin A 以及 BD=c−AD。
a²—
b²+c²−2bc cos A—
AD=b cos A—
证初中方法证明
只使用作垂线、勾股定理、完全平方公式和初中锐角余弦。钝角的余弦不属于初中定义，页面末尾单独说明如何与高中定义衔接。
在 Rt△ACD 中：
b²=x²+h²
在 Rt△BCD 中：
a²=(c−x)²+h²
展开第二个式子：
a²=c²−2cx+x²+h²
由第一个式子 x²+h²=b²，所以
a²=b²+c²−2cx
在 Rt△ACD 中：
cos A=AD/AC=x/b
因此 x=b cos A。代入上一步：
a²=b²+c²−2bc cos A
锐角情形得证：a²=b²+c²−2bc cos A
补直角与钝角说明
| ∠A | 初中图形关系 | 结果 |
|---|---|---|
| 锐角 | D 在线段 AB 上 | 上面的证明直接成立 |
| 直角 | AD=0 | 退化为 a²=b²+c² |
| 钝角 | D 在 AB 的延长线上 | 需用高中定义 cos A=−cos(180°−A) |
所以初中知识可以完整推出锐角和直角情形；完整覆盖钝角时，需要高中对钝角余弦的定义。