以 A 为原点、AB 所在直线为 x 轴。因为 AB=c，所以 B(c,0)。
AC 与 x 轴的夹角是 A，且 AC=b，于是 C 的坐标为
C(b cos A, b sin A)
三角形的余弦定理证明
高一数学 · 解三角形 · 投影与勾股定理
余弦定理投影勾股定理题定理内容
在 △ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c。
a² = b² + c² − 2bc cos A
循环换字母，还可得到 b²=c²+a²−2ca cos B 与 c²=a²+b²−2ab cos C。
证明这些关系。
动动态参考图
调节 b、c 和夹角 A，观察对边 a 以及等式两边同步变化。
a²—
b²+c²−2bc cos A—
对边 a—
证完整证明
BC=a。由两点距离公式：
a²=(c−b cos A)²+(0−b sin A)²
展开：
a²=c²−2bc cos A+b²cos²A+b²sin²A
因为 sin²A+cos²A=1，所以末两项合并为 b²：
a²=b²+c²−2bc cos A
对顶点 B、C 重复同样的推理，就得到另外两组公式。
∴ a² = b² + c² − 2bc cos A
表公式与含义
| 已知 | 使用公式 | 可求 |
|---|---|---|
| b、c 和夹角 A | a²=b²+c²−2bc cos A | 第三边 a |
| 三边 a、b、c | cos A=(b²+c²−a²)/(2bc) | 角 A |
| A=90° | cos A=0 | a²=b²+c² |
用关键理解
余弦定理是勾股定理的推广：当 A 为锐角时减去正投影项；当 A 为钝角时 cos A<0，“减去负数”会让对边 a 更长。