将军饮马最短路径模型
同侧两点到直线上一点的距离和最小
轴对称两点之间线段最短最值模型条件与结论
A、B 在直线 l 的同侧，P 是 l 上的动点。作 A 关于 l 的对称点 A′。证明：
当 A′、P、B 三点共线时，AP+PB 最小，最小值为 A′B
反射展直
完整证明
1. 对称把 AP 换成 A′P
P 在对称轴 l 上，所以 P 到一对对称点距离相等：
AP=A′P
2. 折线变成另一条折线
AP+PB=A′P+PB。
3. 用两点之间线段最短
对任意 P，A′P+PB≥A′B；当且仅当 A′、P、B 共线时取等号。
min(AP+PB)=A′B
“同侧折线最短”先反射一个端点，再把折线拉直。
方法复盘
为什么反射一个端点
P 在对称轴 l 上时，AP=A′P，所以反射可以在不改变路径长度的前提下，把同侧的折线改造成连接 A′ 与 B 的折线。
最小值为何能取到
三角形两边之和不小于第三边给出 A′P+PB≥A′B；当 A′、P、B 共线时等号成立，因此 A′B 是能够达到的最小值。
作图时注意
连接 A′B 后要取它与 l 的交点作为 P。如果交点不在线段 A′B 上，应结合题目对 P 的范围判断是否需要讨论端点。