用初中知识证明海伦公式

初三拓展 · 作高 · 勾股定理 · 因式分解

勾股定理方程消元平方差公式

题要证明的结论

△ABC 的三边分别为 a、b、c，半周长 s=(a+b+c)/2，面积为 S。

S=√[s(s−a)(s−b)(s−c)]

不用余弦定理，只用初中代数和几何证明。

调节三边，页面自动保证三边能组成三角形；橙色虚线是高 CD。

a5.0b4.6c6.0

半周长 s—

海伦公式面积—

底×高÷2—

只使用作高、勾股定理、一元一次方程、三角形面积公式和平方差公式。若是钝角三角形，可先把最长边记为 c，使钝角顶点为 C，高的垂足仍落在线段 AB 上。

从 C 向 AB 作高 CD。设 AD=x、CD=h，则 BD=c−x。

由勾股定理：

b²=x²+h²，a²=(c−x)²+h²

第一式减第二式，h² 被消掉：

b²−a²=x²−(c−x)²=2cx−c²

解得

x=(b²+c²−a²)/(2c)

因为 S=ch/2 且 h²=b²−x²，所以

16S²=4c²h²=4b²c²−4c²x²

代入 x：

16S²=4b²c²−(b²+c²−a²)²

16S²=[a²−(b−c)²]·[(b+c)²−a²]

=(a−b+c)(a+b−c)(−a+b+c)(a+b+c)

令 s=(a+b+c)/2，四个因式分别是 2(s−b)、2(s−c)、2(s−a)、2s。

16S²=16s(s−a)(s−b)(s−c)

面积取正值，两边开平方即得结论。

∴ S=√[s(s−a)(s−b)(s−c)]