取角 A，它的两条邻边为 b、c，因此
S = ½bc sin A
两边平方并乘以 16：
16S² = 4b²c² sin²A
三角形的海伦公式证明
高一数学 · 三边求面积 · 余弦定理与因式分解
海伦公式半周长因式分解题公式内容
△ABC 的三边长分别为 a、b、c，半周长
s = (a+b+c) / 2
三角形面积记为 S。证明：
S = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]
动动态参考图
调节三边长度。页面会自动限制 c 满足三角形两边之和大于第三边。
半周长 s—
海伦公式面积—
底×高÷2—
证完整证明
由余弦定理 a²=b²+c²−2bc cos A，可得
cos A = (b²+c²−a²) / (2bc)
又因为 sin²A=1−cos²A，代入上一步：
16S² = 4b²c² − (b²+c²−a²)²
把右边看成平方差：
16S²=[2bc−(b²+c²−a²)]·[2bc+(b²+c²−a²)]
分别整理：
16S²=[a²−(b−c)²]·[(b+c)²−a²]
再次使用平方差公式：
16S²=(a−b+c)(a+b−c)(−a+b+c)(a+b+c)
因为 a+b+c=2s，所以
a−b+c=2(s−b)，a+b−c=2(s−c)
−a+b+c=2(s−a)，a+b+c=2s
代回可得 16S²=16s(s−a)(s−b)(s−c)。面积为正，因此取正平方根。
∴ S = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]
表推导链条
| 起点 | 消元 | 结果 |
|---|---|---|
| S=½bc sin A | 余弦定理消去 A | 16S²=4b²c²−(b²+c²−a²)² |
| 平方差分解 | 化成四个一次因式 | (a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c) |
| s=(a+b+c)/2 | 四个因式换元 | S²=s(s−a)(s−b)(s−c) |
用使用条件
海伦公式适合“已知三边求面积”。先检查三边能组成三角形，再计算半周长 s；根号内四个因子均为非负数。