圆周角定理证明

初三圆 · 等腰三角形 · 周角拆分

圆周角圆心角同弧

题定理内容

A、B、C 在圆 O 上，圆周角 ∠ACB 和圆心角 ∠AOB 都对着弧 AB。

∠ACB = ½∠AOB

证明这个结论。

动圆上动点参考图

移动点 C，只要 C 不越过弧 AB，圆周角大小保持不变。

点 C 的位置104°

圆心角 ∠AOB—

圆周角 ∠ACB—

两者关系—

证完整证明

连接 OA、OB、OC，并延长 CO 与圆交于 D。设

∠ACO=x，∠OCB=y

于是 ∠ACB=x+y。

OA=OC，所以 △AOC 是等腰三角形：

∠AOC=180°−2x

同理，OB=OC：

∠COB=180°−2y

圆心 O 周围一周是 360°，所以对着不含 C 的弧 AB 的圆心角为

∠AOB=360°−∠AOC−∠COB

=360°−(180°−2x)−(180°−2y)=2x+2y

因为 ∠ACB=x+y，所以

∠AOB=2(x+y)=2∠ACB

即 ∠ACB=½∠AOB。

当圆心不在圆周角内部时，用角的差代替角的和，推理完全相同。

∴ 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半

表直接推论

条件	结论
两个圆周角对着同一条弧	两个圆周角相等
圆周角对着直径	圆周角为 90°
四边形四点共圆	一组对角互补