等腰直角三角形锐角连接脚拉脚模型

初三几何 · 连接点不是直角 · 旋转与中点

45°连接点脚拉脚倍长中线旋转

题模型条件与结论

△ABC 和 △ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE。两图只共用点 A，并且 A 是两个三角形的 45° 锐角顶点。

小三角形 △ADE 可绕 A 旋转，始终保持图中的转向。F 是线段 CE 的中点。证明：

BF=DF，且 BF⊥DF

连接点 A 没有直角标记，两侧各是一个 45° 角。拖动旋转角或大小，辅助点 G、两条中线和结论会同步变化；默认位置让两个原三角形分开显示。

小三角形大小 AD/AB0.55绕锐角连接点 A 旋转180°

BF—

DF—

BF 与 DF 的夹角—

延长 BF 到 G，使 FG=BF。于是 F 是 BG 的中点。

F 又是 CE 的中点，所以四边形 BCGE 的两条对角线 BG、CE 互相平分，BCGE 是平行四边形。

EG∥BC，且 EG=BC

记 R 为“逆时针旋转 90°”。在 △ABC 中，由 AB=BC、AB⊥BC，可得

R(AB)=BC

在 △ADE 中，由 AD=DE、AD⊥DE，按图中的方向可得

R(DA)=DE

小三角形绕 A 转动时，这两个关系不会改变。

从 D 到 B 可沿 D→A→B 行走：

DB=DA+AB

对两边同时作 R 旋转：

R(DB)=R(DA)+R(AB)=DE+BC

在平行四边形 BCGE 中，EG=BC 且方向相同，所以

DE+BC=DE+EG=DG

因此 DG 是 DB 旋转 90° 得到的线段。

旋转不改变长度，并且转角是 90°，因此

DB=DG，且 DB⊥DG

所以 △BDG 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形，BG 是它的斜边。

F 是等腰三角形 BDG 底边 BG 的中点，所以中线 DF 同时也是高：

DF⊥BG

又因为 F 是直角三角形 BDG 斜边 BG 的中点，由斜边中线定理：

DF=BF=FG

B、F、G 共线，因此 BF⊥DF，并且 BF=DF。

锐角连接脚拉脚的核心：倍长中线后，把原图转化成一个新的等腰直角三角形，目标线段就是它的斜边中线。