等腰直角三角形脚拉脚旋转模型

初三几何 · 两图只共点 · 旋转与中点

等腰直角旋转模型倍长中线平行四边形

题模型条件与结论

△ABC 和 △CDE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠CDE=90°。两个三角形只共用连接点 C，小三角形 △CDE 可绕 C 旋转，并始终保持 CD=DE。

M 是线段 BE 的中点。证明：

DM⊥AE，且 DM=½AE

两个三角形分居直线 CB 两侧，仅在 C 点连接。拖动“旋转角”观察小三角形绕 C 转动；拖动“大小”可改变 CD，但结论始终不变。虚线 DN 是倍长 DM 得到的辅助线。

小三角形大小 CD/CB0.55绕连接点 C 旋转−90°

DM—

AE / 2—

DM 与 AE 的夹角—

记 R 为“逆时针旋转 90°”。因为 △ABC 是以 C 为直角顶点的等腰直角三角形，所以

R(CB)=CA

又因为小三角形在旋转过程中始终保持 CD=DE、CD⊥DE，并保持图中的转向，所以

R(CD)=DE

无论小三角形绕 C 转到哪个位置，这两个旋转关系都不变。

延长 DM 到 N，使 MN=DM。M 原本是 BE 的中点，现在又是 DN 的中点。

四边形 DBNE 的两条对角线 DN、BE 互相平分，因此 DBNE 是平行四边形。

BN∥DE，且 BN=DE

沿 A→C→D→E 行走，可写成有向线段：

AE=AC+CD+DE=−CA+CD+DE

对整条线段做 R 旋转。由 R(CB)=CA 可得 R(CA)=−CB；由 R(CD)=DE 可得 R(DE)=−CD。因此

R(AE)=CB+DE−CD

在平行四边形 DBNE 中，从 D 到 N 可以沿 D→B→N 行走：

DN=DB+BN

其中 DB=DC+CB=−CD+CB，且 BN=DE，所以

DN=CB+DE−CD=R(AE)

这说明 DN 正好是 AE 旋转 90° 后得到的等长线段，故 DN⊥AE 且 DN=AE。

D、M、N 三点共线，且 M 是 DN 的中点，所以

DM=½DN=½AE

又因为 DN⊥AE，DM 与 DN 在同一直线上，因此

DM⊥AE

旋转角和小三角形大小都可以改变；只要两组等腰直角关系与转向不变，DM⊥AE、DM=½AE 始终成立。