已知和与积求高次式
初二上 · 整式乘法与因式分解 · 题目 04
完全平方公式因式分解题目
已知 a+b=5，ab=6。不分别求 a、b，求 a²+b² 和 a³+b³。
题目示意图
把已知的和、积整体代入平方和与立方和
解答
求平方和
a²+b²=(a+b)²−2ab=25−12=13
分解立方和
a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²)
整体代入
a²−ab+b²=(a²+b²)−ab=13−6=7。
a³+b³=5×7=35
复核
2+3=5，2×3=6；4+9=13，8+27=35，结果一致。
答案：a²+b²=13，a³+b³=35。主方法是整体代入，不需要一元二次方程。
解题复盘
为什么整体代入
题目给的是 a+b 与 ab，而不是 a、b 的具体值，所以要把目标式改写成只含这两个整体的形式。这样能避免先解出 a、b。
容易出错的地方
展开 (a+b)² 时中间项是 2ab；展开 (a+b)³ 时应写成 a³+b³+3ab(a+b)，系数 3 不能漏。
结果怎样检查
满足和为 5、积为 6 的两个数可以取 2 和 3。直接计算 2²+3²=13、2³+3³=35，与整体代入结果一致。