三角形外角与角平分线

初二上 · 三角形 · 题目 01

内角和外角角平分线

题目

在 △ABC 中，∠A=50°，∠B=60°。把 BC 延长到 D，射线 CE 平分外角 ∠ACD。求直线 CE 与直线 AB 所成的较小角。

题目示意图

BACDEF55°60°∠B=60°

三角形外角、角平分线 CE 与平行线 CF

解答

求 C 点内角

∠ACB=180°−50°−60°=70°

求外角并平分

∠ACD=180°−70°=110°
∠ECD=110°÷2=55°

作平行线比较方向

过 C 作 CF∥AB。因为 CD 与 BC 同向，AB 与 BC 所成角为 60°，所以：

∠FCD=60°

求两直线较小夹角

CF∥AB，因此 CE 与 AB 的夹角等于 CE 与 CF 的夹角。

60°−55°=5°
答案：5°。只用了三角形内角和、邻补角、角平分线和平行线，不涉及相似或三角函数。

解题复盘

为什么作平行线

题目要求比较 CE 与 AB 的方向，但两条直线不在同一个顶点。过 C 作 AB 的平行线，就能把所求夹角转移到 C 点直接相减。

容易出错的地方

角平分线平分的是外角 ∠ACD=110°，不是三角形内角 ∠ACB=70°。直线夹角还要取较小的那个角。

结果怎样检查

CE 与 CD 的夹角为 55°，AB 的平行线与 CD 的夹角为 60°，两条方向只差 5°，结果与图形中的锐角位置一致。