定义：若点 P 关于直线 l 的对称点 P' 在图形 N 的内部或边上，则称点 P 为图形 N 关于直线 l 的镜像点。
在平面直角坐标系 xOy 中，已知 △ABC 的三个顶点分别为 A(2, 1)，B(-1, 1)，C(-1, -2)。过点 T(0, t) 且垂直于 y 轴的直线记为 l₁。
(1) 当 t = -2 时，在点 P₁(0, -4)，P₂(2, -5.5)，P₃(-1, -2.2) 中，是 △ABC 关于 l₁ 的镜像点的是 ；
(2) 若 x 轴上存在 △ABC 关于 l₁ 的镜像点，且 t ≠ 0，求 t 的最小值；
(3) 直线 l₂ 过点 T(0, t)，且与第一、三象限的角平分线平行。
① 若 l₂ 上存在 △ABC 关于 l₁ 的镜像点，求 t 的取值范围；
② 正方形 DEFH 的边长为 1，对角线交点为 Q(t, 0)，边分别平行于 x 轴、y 轴。若该正方形边上的所有点都是 △ABC 关于 l₂ 的镜像点，直接写出 t 的取值范围。
点 P(x₀, y₀) 关于水平线 y = t 的对称点：
（横坐标不变，纵坐标变为 2t − y₀）
点 P(x₀, y₀) 关于斜率为 1 的直线 y = x + t 的对称点：
（x' = y₀ − t，y' = x₀ + t，相当于交换并平移）
解题关键：镜像点问题 = 对称变换 + 区域判定。 先求出对称点坐标，再判断对称点是否落在目标图形内部或边上。
拖动滑块调整 t 值，观察直线 l₁: y=t 与 △ABC 的位置关系，以及各点的对称位置。
l₁ 过 T(0, t) 且垂直于 y 轴 → 水平线 y = t
当 t = -2 时，l₁: y = -2
对称公式：点 P(x, y) 关于 y = -2 的对称点为 P'(x, -4 - y)
（验证：中点纵坐标 = (y + (-4-y))/2 = -2，恰好在直线上 ✓）
三点坐标：A(2, 1)，B(-1, 1)，C(-1, -2)
画图观察：B 和 C 的 x 坐标都是 -1 → BC 是竖直线段
A 和 B 的 y 坐标都是 1 → AB 是水平线段
所以 △ABC 是 直角三角形，直角在 B(-1, 1)
斜边 AC：从 (2,1) 到 (-1,-2)，方程 y = x − 1
三角形区域（不等式组）：
P₁(0, -4)：
对称点 P₁'(0, -4-(-4)) = (0, 0)
验证：x=0 满足 −1≤0≤2 ✓；y=0 满足 0−1=−1 ≤ 0 ≤ 1 ✓
✓ 在三角形内部，是镜像点
P₂(2, -5.5)：
对称点 P₂'(2, -4-(-5.5)) = (2, 1.5)
验证：y = 1.5 > 1，超出三角形上边界
✗ 不在三角形内，不是镜像点
P₃(-1, -2.2)：
对称点 P₃'(-1, -4-(-2.2)) = (-1, -1.8)
验证：x = -1 是左边界；y = -1.8 满足 −2 ≤ −1.8 ≤ 1 ✓
✓ 在 BC 边上，是镜像点
x 轴上的点 → 纵坐标为 0，设 P(x, 0)
P 关于 l₁: y = t 的对称点：P'(x, 2t)
关键洞察：对称点的纵坐标是 2t，与 x 无关！
也就是说，所有 x 轴上的点对称后，都落在水平线 y = 2t 上。
"存在镜像点" = 水平线 y = 2t 与 △ABC 有交点
△ABC 的 y 坐标范围：从 C 点的 −2 到 A、B 点的 1
即 −2 ≤ y ≤ 1
所以 y = 2t 要与三角形相交：
t 的范围是 −1 ≤ t ≤ 0.5，且 t ≠ 0
最小值 = −1
验证：t = −1 时，2t = −2，对称点纵坐标为 −2，恰好在 C 点所在的底边上。取 P(-1, 0)，则 P'(-1, -2) = C，在三角形边上 ✓
l₂ 过 T(0, t)，与第一、三象限角平分线平行 → 斜率为 1
方程：y = x + t
注意：这里的"镜像点"是关于 l₁ 的镜像点（题目说"△ABC 关于 l₁ 的镜像点"），不是关于 l₂ 的！
设 P 是 l₂ 上任意一点：P(a, a + t)
P 关于 l₁: y = t 的对称点：
△ABC 区域：−1 ≤ x ≤ 2，且 x − 1 ≤ y ≤ 1
代入 P'(a, t − a)：
① −1 ≤ a ≤ 2
② a − 1 ≤ t − a ≤ 1
由 ② 左边：a − 1 ≤ t − a ⟹ 2a − 1 ≤ t
由 ② 右边：t − a ≤ 1 ⟹ t ≤ a + 1
综合：2a − 1 ≤ t ≤ a + 1，其中 a ∈ [−1, 2]
"存在镜像点" = 存在某个 a ∈ [−1, 2] 使不等式成立
即求所有满足条件的 t 的并集：
t 的下限：当 a 最小时，2a − 1 最小 = 2×(−1) − 1 = −3
t 的上限：当 a 最大时，a + 1 最大 = 2 + 1 = 3
所以 t 的取值范围：
正方形 DEFH：边长为 1，对角线交点 Q(t, 0)，边平行坐标轴
半边长 = 0.5，所以正方形范围：
四个顶点：(t−0.5, −0.5)，(t+0.5, −0.5)，(t+0.5, 0.5)，(t−0.5, 0.5)
这一问是关于 l₂ 的镜像点（注意与 ① 的区别！）
l₂: y = x + t，点 P(x, y) 关于 l₂ 的对称点：
推导：两点连线垂直 l₂（斜率为 −1），中点在 l₂ 上，解得 x' = y − t，y' = x + t
正方形边上任意一点 P(x, y) 对称后 P'(y−t, x+t) 都要在 △ABC 内
△ABC 约束：−1 ≤ x' ≤ 2，且 x' − 1 ≤ y' ≤ 1
代入 x' = y − t，y' = x + t：
① −1 ≤ y − t ≤ 2 （对所有 y ∈ [−0.5, 0.5] 成立）
② (y − t) − 1 ≤ x + t ≤ 1 （对所有 x ∈ [t−0.5, t+0.5], y ∈ [−0.5, 0.5] 成立）
由条件 ①：
y − t ≥ −1 对所有 y ∈ [−0.5, 0.5] 成立 → 取 y 最小值：−0.5 − t ≥ −1 → t ≤ 0.5
y − t ≤ 2 对所有 y ∈ [−0.5, 0.5] 成立 → 取 y 最大值：0.5 − t ≤ 2 → t ≥ −1.5
由条件 ② 右边 x + t ≤ 1：
x 最大为 t + 0.5，所以 (t + 0.5) + t ≤ 1 → 2t ≤ 0.5 → t ≤ 0.25
由条件 ② 左边 y − t − 1 ≤ x + t：
x 最小为 t − 0.5，y 最大为 0.5
0.5 − t − 1 ≤ t − 0.5 + t → −0.5 − t ≤ 2t − 0.5 → 0 ≤ 3t → t ≥ 0
综合所有约束：取交集得 0 ≤ t ≤ 0.25
注：严格求解需验证四条边界上的极值点，此处给出核心思路。 正方形对称后整体要"嵌入"三角形内，通过顶点极值约束即可确定范围。
（具体范围需结合图形精确验证，核心方法是正方形顶点对称后逐一检验）
| 小问 | 核心条件 | 答案 |
|---|---|---|
| (1) | t = −2，判断三个点 | P₁、P₃ |
| (2) | x 轴上存在镜像点，t ≠ 0，求最小值 | −1 |
| (3) ① | l₂ 上存在镜像点 | −3 ≤ t ≤ 3 |
| (3) ② | 正方形边上全是镜像点 | 0 ≤ t ≤ 1/4 |