OA、OB 都是圆 O 的半径，因此
OA=OB
又因为 CD⊥AB，所以 ∠AMO=∠BMO=90°。
垂径定理证明
初三圆 · 直角三角形全等 · 弦与弧
垂径定理HL 全等等弧题定理内容
在圆 O 中，直径 CD 垂直于弦 AB，垂足为 M。
AM=BM，弧 AC=弧 BC，弧 AD=弧 BD
证明这些结论。
动动态参考图
上下移动弦 AB，直径始终垂直弦，M 始终是弦的中点。
AM—
BM—
关系—
证完整证明
比较 Rt△AOM 与 Rt△BOM：
斜边 OA=OB，直角边 OM=OM。
Rt△AOM≌Rt△BOM（HL）
全等三角形的对应边相等，所以
AM=BM
因此垂直于弦的直径平分这条弦。
由全等还可得 ∠AOM=∠MOB。相等的圆心角所对的弧相等，因此
弧 AC=弧 BC，弧 AD=弧 BD
∴ 垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的两条弧
表常用变式
| 已知条件 | 可推出 |
|---|---|
| 直径垂直弦 | 平分弦、平分两条弧 |
| 直径平分非直径的弦 | 直径垂直弦，并平分弧 |
| 弦的垂直平分线 | 一定经过圆心 |