用初中圆知识证明正弦定理

初三衔接 · 圆周角 · 直径 · 锐角三角函数

圆周角直径锐角正弦

题要证明的结论

△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，外接圆半径为 R。

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

移动圆周上的点 A。B、C 固定，过 B 的直径 BD 固定；∠A 与 ∠D 始终对着同一条弦 BC。

点 A 的位置105°

a / sin A—

直径 BD—

外接圆半径 R—

本页使用初中圆知识和锐角三角函数。若原三角形有钝角，初中课内尚未定义钝角的正弦；需要到高中用“补角的正弦相等”补上这一种情况。

作 △ABC 的外接圆。过 B 作直径 BD，连接 CD。

直径所对的圆周角是直角，所以

∠BCD=90°，BD=2R

△BCD 是直角三角形。

∠BAC 与 ∠BDC 都对着同一条弦 BC，因此

∠BAC=∠BDC=A

这一步把原三角形中的角 A 搬进了直角三角形 BCD。

在 Rt△BCD 中：

sin A = sin∠BDC = BC / BD = a / (2R)

移项得到 a/sin A=2R。

换成边 b、c 以及它们的对角，完全同理：

b / sin B=2R，c / sin C=2R

三个式子的右边相同，结论成立。

∴ a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R