从 C 向 AB 作高 CD，设 CD=h。
在直角三角形 ACD 中，h=b sin A；在直角三角形 BCD 中，h=a sin B。
b sin A = a sin B
两边同除以 sin A · sin B，得到
a / sin A = b / sin B
三角形的正弦定理证明
高一数学 · 解三角形 · 高线与外接圆
正弦定理三角形面积外接圆题定理内容
在 △ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，外接圆半径为 R。
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
证明这个结论。
动动态参考图
调节点 C，三边和三个角随之变化；四个读数始终相等。
a / sin A—
b / sin B—
c / sin C—
2R—
证完整证明
同理，从 A 向 BC 作高。用完全相同的方法可得
b sin C = c sin B
因此 b / sin B = c / sin C。与上一步合并：
a / sin A = b / sin B = c / sin C
若三角形有钝角，高落在边的延长线上；利用 sin(180°−A)=sin A，结论仍成立。
作 △ABC 的外接圆，并作直径 BD，连接 CD。因为 BD 是直径，所以 ∠BCD=90°。
圆周角 ∠BDC 与 ∠BAC 都对着同一条弦 BC，所以 ∠BDC=∠BAC=A。在直角三角形 BCD 中：
BC = BD · sin∠BDC = 2R sin A
即 a=2R sin A，所以 a/sin A=2R。其余两边同理。
∴ a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
表结论汇总
| 关系 | 依据 | 得到 |
|---|---|---|
| h=b sin A=a sin B | 同一条高 | a/sin A=b/sin B |
| 换一条高 | 同理 | b/sin B=c/sin C |
| a=2R sin A | 直径与圆周角 | 公共比值为 2R |
用什么时候使用
已知两角与一边，或已知两边和其中一边的对角时，正弦定理能在“边—对角”之间直接换算。使用前必须先确认边和对角一一对应。