在 AB 上取一点 P，使 BP=BE，连接 PE。
因为 ABCD 是正方形，所以 AB=BC。从相等的整段中减去相等的小段，得到
AP = AB−BP = BC−BE = CE
又因为 BP⊥BE 且 BP=BE，所以 △PBE 是等腰直角三角形，∠BPE=45°。
因此 ∠APE=180°−45°=135°。而 ∠DCG=45°、DC⊥CE，所以 ∠ECG=135°。
如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 上一动点，AE ⟂ EG，垂足为 E，∠DCG = 45°。
连接 AG 交 CD 于点 F，连接 EF。
求证：∠CEG = ∠FEG。
不设未知数，也不计算长度。我们只补两个点：
同一条线段 BE 被“搬”到两个位置，用来制造全等三角形。
第一步：△AEP ≌ △EGC，推出 AE=EG；第二步：△ABE ≌ △ADK，再证 △AEF ≌ △AKF，最后只做角度加减。
拖动 E，观察 P、K、G、F 一起变化。辅助点始终满足 BP=BE、DK=BE。
在 AB 上取一点 P，使 BP=BE，连接 PE。
因为 ABCD 是正方形，所以 AB=BC。从相等的整段中减去相等的小段，得到
又因为 BP⊥BE 且 BP=BE，所以 △PBE 是等腰直角三角形，∠BPE=45°。
因此 ∠APE=180°−45°=135°。而 ∠DCG=45°、DC⊥CE，所以 ∠ECG=135°。
因为 AB⊥BC、AE⊥EG，两个角的两边分别垂直，所以
比较 △AEP 和 △EGC：
① ∠PAE=∠CEG；② ∠APE=∠ECG=135°；③ AP=CE。
所以由“角边角”可得 △AEP ≌ △EGC，从而
已知 AE⊥EG，因此 △AEG 是等腰直角三角形，故 ∠EAG=45°。又 A、F、G 共线，所以 ∠EAF=45°。
延长 CD 到点 K，使 DK=BE，连接 AK。
在 △ABE 和 △ADK 中：
① AB=AD（正方形的边相等）；② BE=DK（作法）；③ ∠ABE=∠ADK=90°。
所以由“边角边”可得
于是 AE=AK，并且 ∠BAE=∠DAK。
设 ∠BAE=∠CEG=α。由上一步，∠DAK=α。
因为 ∠BAD=90°，所以 ∠EAD=90°−α，进而
又 AE=AK，所以 △EAK 是等腰直角三角形。已知 ∠EAF=45°，因此 AF 正好平分 ∠EAK，即 ∠EAF=∠FAK=45°。
在 △AEF 和 △AKF 中，AE=AK、AF=AF、∠EAF=∠FAK，所以
从而 ∠AEF=∠AKF。在直角三角形 ADK 中，∠AKF=90°−α，故 ∠AEF=90°−α。
最后，因为 AE⊥EG，所以
| 对象 | 结果 | 来自哪里 |
|---|---|---|
| 辅助点 P | BP=BE | 得到 AP=CE |
| 第一次全等 | △AEP≌△EGC | 得到 AE=EG |
| 辅助点 K | DK=BE | 制造第二组全等 |
| 第二、三次全等 | △ABE≌△ADK；△AEF≌△AKF | 得到 ∠AEF=90°−α |
| 结论 | ∠CEG=∠FEG | 两角都等于 α |