正方形半角模型

90° 的一半是 45°，旋转补形拼出线段和

正方形45°旋转

模型条件与结论

正方形 ABCD 中，E、F 分别在 BC、CD 上，且 ∠EAF=45°。证明：

EF=BE+DF

旋转构造

1. 把 △ADF 旋转 90°

绕 A 顺时针旋转 90°，使 AD 落到 AB，F 的对应点为 H。于是 AH=AF、BH=DF。

2. 证明两条 45° 射线对应

由正方形直角和 ∠EAF=45°，可得 ∠EAH=∠EAF=45°。

3. SAS 全等并拼接

AE 公共、AH=AF、夹角相等，所以 △AEH≌△AEF，得到 EH=EF。

EF=EH=EB+BH=BE+DF

半角模型的固定动作：旋转大角的一边，把分散的两段拼到同一直线上。

为什么旋转 90°

正方形提供 AD=AB 和直角，把 △ADF 绕 A 旋转 90° 后，DF 可以搬到与 BE 同一直线的方向，为证明线段和创造条件。

45° 条件的作用

∠EAF 是正方形直角的一半。旋转后的射线 AH 与 AF 相差 90°，结合半角关系可得到 ∠EAH=∠EAF，为 SAS 全等补齐夹角。

最后怎样拼线段

由全等得到 EH=EF，而旋转又给 BH=DF。由于 E、B、H 共线，EH=EB+BH，于是 EF=BE+DF。关键是先确认三点的顺序。